Let $a_n$ be the number of ways to distribute $n$ objects into $k$ boxes. We can see that the number of ways to distribute $n$ objects into $k$ boxes is the same as the number of ways to distribute $n$ objects into $k-1$ boxes, with one extra box. This is because we can just add one more box to the right of each configuration of $n$ objects in $k-1$ boxes to get a configuration of $n$ objects in $k$ boxes. Thus, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_1 + a_0$ for $n \ge 2$. By the Fibonacci sequence, $a_0 = 1, a_1 = 1$, so $a_2 = 2$, $a_3 = 3$, $a_4 = 5$, $a_5 = 8$, and $a_6 = 13$. Thus, the answer is $\boxed{13}$.
Cred că răspunsul este $\binom{n+k-1}{k}$, dar nu sunt sigur cum să o demonstrez. Știu că numărul de moduri de a distribui $n$ obiecte distincte în $k$ cutii distincte este $k^n$, dar nu sunt sigur cum să folosesc asta aici.
Biko03 2019-02-25: Să considerăm numărul de moduri de a distribui cele $n$ obiecte în cele $k$ cutii astfel încât nicio cutie să nu fie goală.
Pentru a face acest lucru, putem folosi principiul incluziunii-excluziunii. Avem $k$ opțiuni pentru primul obiect, $k-1$ opțiuni pentru al doilea, $k-2$ opțiuni pentru al treilea, etc... și așa mai departe. Acest lucru ne oferă $k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)$ moduri de a distribui obiectele în cutii. Cu toate acestea, acest lucru numără numărul de moduri de a distribui obiectele fără a ține cont de ordinea în care sunt plasate în cutii. Deoarece ordinea în care sunt plasate obiectele nu contează, trebuie să împărțim la $n!$ pentru a corecta această supracompensare. Astfel, numărul de moduri de a distribui obiectele este
$$\frac{k(k-1)(k-2)\cdots (k-n+1)}{n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Numărul de moduri de a distribui obiectele astfel încât fiecare cutie să primească cel puțin un obiect este atunci
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!}$$
Acest lucru se simplifică la
$$\frac{k!}{(k-n)!n!}-\frac{k!}{(k-n-1)!n!} = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(1-\frac{n}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}\left(\frac{k-n-1}{k-n-1}\right) = \frac{k!}{(k-n)!n!}$$
Astfel, numărul de moduri de a distribui $n$ bile nedistincte în $k$ cutii distincte astfel încât fiecare cutie să conțină cel puțin o bilă este $\boxed{\binom{k}{n}}$
